https://harmonism.io/fr/philosophy/convergences/fibonacci-and-the-golden-ratio--what-nature-actually-counts
Article de convergence dans la cascade de l’Harmonisme. En aval du Logos et du Réalisme harmonique ; article frère de L’ensemble de Mandelbrot — une profondeur infinie à partir d’une seule règle, qui montre l’ordre dans le nombre pur, et de Le Visage empirique du Logos § Motif biologique, qui passe en revue le registre sur lequel on statue ici. En contrepoint de L’Architecture sacrée, qui a écarté la même légende des canons de construction. Voir aussi : Le Cosmos, Le Motif fractal de la Création.
Additionnez un et un, puis ajoutez chaque résultat au résultat précédent : 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89. Divisez n’importe quel terme par celui qui le précède, et les quotients se resserrent sur 1.6180339887…, le nombre que la Renaissance appelait la divine proportion et que les modernes appellent φ. Euclide l’avait défini dix-huit siècles avant les lapins de Fibonacci, comme la coupure qui fait que le tout est à la plus grande partie ce que la plus grande est à la plus petite — l’extrême et moyenne raison, géométrie pure, présentée dans les Éléments sans aucune esthétique attachée et sans la moindre instruction de construction à proximité.
Une propriété supplémentaire porte tout ce qui suit. Écrit sous forme de fraction continue, φ n’est fait que de uns, et un nombre fait de uns est celui que les fractions approchent le plus lentement. Les mathématiciens l’entendent au sens exact : de tous les nombres irrationnels, φ est le plus irrationnel, la pire cible possible pour l’approximation rationnelle. Retenez cette propriété. Elle est la raison entière pour laquelle ce nombre apparaît dans le tissu vivant, et la légende ne la mentionne jamais.
Le plaidoyer populaire en faveur de φ comme constante sacrée de la nature passe par un nautile, un temple, un peintre et une galaxie, et les quatre échouent à la mesure.
Le nautile à chambres croît selon une spirale logarithmique, et logarithmique ne veut pas dire dorée : les coquilles mesurées s’élargissent d’un facteur proche de 1.3 par quart de tour, là où une spirale dorée s’élargit de 1.618. Le prétendu rectangle d’or du Parthénon n’apparaît que si le cadre de mesure est tracé pour le produire, et aucun texte grec ancien ne prescrit ce rapport pour construire — la démolition de George Markowsky tient depuis 1992, et comme l’expose L’Architecture sacrée, les systèmes attestés à Milan, dans le Yingzao Fashi, dans le Mayamata, emploient des carrés, des triangles, des classes de bois et des modules, et aucun n’emploie φ. Léonard a illustré le De divina proportione de Pacioli ; aucune mesure de ses tableaux ne retrouve ce rapport comme règle de composition. Les galaxies spirales sont logarithmiques, avec des angles d’enroulement qui varient d’un bras à l’autre et d’une galaxie à l’autre. La version esthético-universelle de tout cela a été affirmée par Adolf Zeising en 1854, puis projetée rétrospectivement sur l’Antiquité depuis lors ; The Golden Ratio de Mario Livio en est l’histoire honnête, qui affirme la mathématique réelle du nombre tout en démantelant le culte bâti sur lui.
Un lecteur qui a rencontré l’article du corpus sur Mandelbrot connaît déjà ce mouvement. Là, l’affirmation refusée était que la nature dessine l’ensemble ; ici, que la nature vénère le rapport. Les deux refus déblaient le terrain pour un témoin que la légende cachait.
La phyllotaxie est le véritable domaine, et on peut la vérifier dans un jardin.
Comptez les spirales d’une pomme de pin : huit dans un sens, treize dans l’autre. Les bractées d’un ananas courent par 8, 13 et 21. Les feuilles successives de nombreuses tiges divergent d’un angle proche de 137.5 degrés, l’angle d’or, le cercle entier coupé selon le rapport φ. Les capitules de tournesol disposent leurs fleurons en deux familles de spirales entrecroisées, et les comptes vont par paires de Fibonacci : 34 et 55, 55 et 89, 89 et 144 chez les géants. Un faux bourdon, éclos d’un œuf non fécondé, a un parent, deux grands-parents, trois arrière-grands-parents, cinq à la génération précédente : la suite elle-même, remontant une ascendance.
Puis la mesure, car une majorité n’est pas un universel et la différence compte. En 2016, John Swinton et ses collègues ont publié le plus vaste test jamais mené : un comptage participatif de 657 capitules de tournesol dans Royal Society Open Science. Environ les trois quarts des 768 comptes de spirales exploitables étaient des nombres de Fibonacci. Une queue de distribution supplémentaire relevait des nombres de Lucas, la suite sœur 2, 1, 3, 4, 7, 11 qui obéit à la même récurrence et converge vers le même φ, et de valeurs voisines de Fibonacci, décalées d’une unité par rapport à la cible. Un résidu tenace ne correspondait à aucune suite, y compris des capitules dont les deux familles ne s’accordaient pas sur ce qu’elles comptaient. Soumise à la mesure, l’affirmation scolaire bien rangée, les tournesols sont Fibonacci, s’assouplit en un fait statistique robuste aux exceptions documentées, et ces exceptions sont instructives : elles se concentrent dans les capitules dont le développement a été perturbé. La croissance non perturbée converge vers le motif ; aucune loi ne contraint chaque fleur.
C’est plus impressionnant, non moins. Un pochoir ne produirait aucune exception. Une dynamique qui converge vers un attracteur produit exactement ceci : un motif dominant, une frange de quasi-réussites, et des échecs là où le processus a été interrompu.
Pourquoi φ, entre tous les nombres, dans une plante qui ne sait rien ?
Un apex en croissance place ses nouveaux organes un par un, et chaque nouveau primordium se forme là où les précédents lui laissent le plus de place — dans l’explication moderne, là où s’accumule l’hormone de croissance auxine, dans l’intervalle que les primordia existants ont drainé. Supposons que l’apex en vienne à placer chaque organe à un angle fixe par rapport au précédent. Une fraction rationnelle du cercle empilerait les organes en rayons, gaspillant l’espace entre eux ; tout angle bien approché par une fraction produit des quasi-rayons. Le tassement optimal réclame l’angle le moins semblable à une fraction quelconque, et le nombre le moins semblable à une fraction quelconque est φ. Personne ne choisit l’angle d’or. Il est ce qui reste quand chaque angle rationnel a été éliminé par l’encombrement, et les comptes de spirales de Fibonacci en découlent arithmétiquement : les nombres de parastiches sont les dénominateurs des meilleures approximations rationnelles de φ lui-même, qui sont des rapports de nombres de Fibonacci.
Stéphane Douady et Yves Couder ont montré en 1992 combien peu de biologie le motif requiert. Des gouttes de fluide magnétique, lâchées une à une au centre d’une coupelle, se repoussant les unes les autres, dérivant vers l’extérieur : les gouttes se placent d’elles-mêmes selon l’angle d’or et en familles de spirales de Fibonacci, et passent d’une paire de Fibonacci à la paire adjacente quand le rythme des gouttes change. Ce que Kauffman appelait l’ordre gratuit, la reconnaissance que Le Visage empirique du Logos porte pour l’auto-organisation en général, atteint ici une constante précise et nommée : faites jouer la contrainte, et φ précipite d’une coupelle de gouttelettes. Ce qui reste ouvert, c’est le bénéfice adaptatif. Strauss et ses collègues ont directement contesté en 2020 l’explication classique par la captation de la lumière, leurs simulations jugeant l’avantage au mieux marginal ; que le motif soit sélectionné pour le tassement, pour la vascularisation, ou maintenu simplement parce que la dynamique du développement y aboutit, reste une question vive, et signalée comme telle.
Cette découverte partage sa structure avec ce que Le Visage empirique du Logos rapporte de l’évolution convergente : la forme est découverte, non inventée, parce que l’espace des contraintes ne permet qu’une bande étroite de solutions. Quarante lignées ont trouvé l’œil ; chaque tournesol non perturbé trouve φ. Cette bande est ce que le Logos est au registre biologique.
La légende de la géométrie sacrée et ses démystificateurs partagent un présupposé : que la question est de savoir si un nombre magique a été peint sur la nature. La légende répond oui et échoue à la mesure ; les démystificateurs répondent non et s’arrêtent là. L’Harmonisme lit ce que les deux laissent debout. Une constante définie par une extrémalité arithmétique pure, le nombre le plus éloigné de toute fraction, gouverne la disposition des feuilles et des fleurons, par un mécanisme qu’une coupelle de gouttelettes peut accomplir, à des taux qu’un comptage participatif peut mesurer. Rien n’a été peint. Le nombre a été imprimé dans la forme vivante par la contrainte, et l’espace des contraintes, la bande étroite de solutions que permettent la physique et la géométrie, est le registre structurel du Logos opérant à l’échelle du tissu.
La discipline des deux registres vaut ici comme partout. Au registre empirique : le transport de l’auxine, l’efficacité du tassement, un attracteur dans une dynamique de développement — établis, cités et incomplets, la question adaptative restant ouverte. Au registre métaphysique : l’affirmation du Réalisme harmonique selon laquelle le Cosmos est intrinsèquement harmonique, selon laquelle la forme converge parce que l’ordre est réel et premier. Une seule réalité, deux visages, aucun réductible à l’autre ; le mécanisme ne dégonfle pas le témoin, il est le témoin au registre que le mécanisme peut atteindre.
Deux pièces se tiennent désormais côte à côte dans le corpus. L’ensemble de Mandelbrot — une profondeur infinie à partir d’une seule règle montre un ordre inépuisable subsistant dans le nombre pur, avant la matière et la vie ; la pomme de pin montre un nombre de pure arithmétique affleurant dans la matière qui vit. L’ordre antérieur au monde, et le monde répondant à l’ordre : deux pôles, un seul Logos, et un lecteur peut vérifier les deux, l’un avec un ordinateur portable et l’autre dans un jardin.
La légende voulait que le nombre d’or soit la signature de la nature et s’est contentée de la contrefaire — sur une coquille qui mesure 1.3, un temple qui ne mesure rien de particulier, un peintre qui ne l’a jamais dit. Ce que laisse la mesure vaut mieux. Le nombre le plus irrationnel qui soit, défini par Euclide sans référence à aucun être vivant, attend dans l’arithmétique de l’approximation jusqu’à ce qu’un apex en croissance, qui ne résout rien d’autre que son propre encombrement, le trouve — trois fois sur quatre, avec des exceptions honnêtes, par un mécanisme que des gouttelettes peuvent imiter. Personne ne l’a mis là. C’est tout le propos. L’ordre que les traditions lisent comme une écriture divine n’a pas besoin d’être inscrit sur les choses, parce qu’il est ce contre quoi les choses sont faites — l’espace de permission que nomme Le Cosmos quand il dit tout simplement que le monde est ordonné.
Une pomme de pin est une petite pièce à conviction. Elle suffit aussi.
Voir aussi : Le Visage empirique du Logos, L’ensemble de Mandelbrot — une profondeur infinie à partir d’une seule règle, L’Architecture sacrée, Le Motif fractal de la Création, Réalisme harmonique, Le Cosmos, Logos